求一算法，看谁算得快

Question

int a,b,c;
求在10000内使
a^3+b^3+c^3=3abc;
所有符合等式的自然数不知有没有，胡乱想的

Answer 1

abc，不相等

Answer 2

a^3+b^3+c^3-3abc
=(a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3)+c^3-3a^2*b-3ab^2-3abc
=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
又因为a^2+b^2+c^2>=2ab;b^2+c^2>=2bc;c^2+a^2>=2ca.(a=b=c时等号成立）
两边同时相加，得到：2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ca)
所以：a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca.
故得到：a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca>=0
又因为：a+b+c>0.
两边分别相乘得到:(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)>=0
于是对一切正实数a、b、c都有a^3+b^3+c^3>=3abc成立。
当仅当a=b=c时等号成立。【这可都是教科书上的定理及其证明呀！读书难道比上网困难的很多么？高中的知识难道都忘了！】

Answer 3

延伸，在10000内有没有三个自然数a,b,c使
a^3+b^3+c^3=6abc; 

Answer 4

经过数学证明，题目的答案是
a=b=c=n,n为任意自然数
a、b、c只要有一个不同于其他的数字，以上等式就不成立，证明过程很简单，可以假设一个数字不同于其他2个，等式就是
2a^3+c^3?=3a^2c;假设c=a+d，（d为一个数字，可以正负）
带入化简就是
d^3+3ad^2?=0，如果要想等式成立，a不可能为0，必须d为0,也就是a=c;或者d=-3a，这样c=a-3a=-2a，与要求的a、c都是自然数冲突。所以一定不存在这样的c。