[原创]自己推导计算星期的通用公式

Question

========================================================
    计算给定日期星期几好象是编程都会遇到的问题，最近论坛里也有人提到这个问题，并给出了一个公式：
    W= (d+2*m+3*(m+1)/5+y+y/4-y/100+y/400) mod 7
    (要求将1、2月当作上一年的13、14月来计算)    去看了看这个公式的原帖            http://blog.csdn.net/ycrao/archive/2000/11/24/3825.aspx
    其讲述的过程并不清楚，便想怎样自己推导出一个公式来，花了几个小时，总算是弄出来了，结果跟上面的公式一样：)
========================================================下面我们完全按自己的思路由简单到复杂一步步进行推导……推导之前，先作两项规定：
①用 y, m, d, w 分别表示 年 月 日 星期(w=0-6 代表星期日-星期六
②我们从 公元0年1月1日星期日 开始
一、只考虑最开始的 7 天，即 d = 1---7 变换到 w = 0---6
    很直观的得到:
    w = d-1二、扩展到整个1月份
    模7的概念大家都知道了，也没什么好多说的。不过也可以从我们平常用的日历中看出来，在周历里边每列都是一个按7增长的等差数列，如1、8、15、22的星期都是相同的。所以得到整个1月的公式如下：
    w = (d-1) % 7  --------- 公式⑴三、按年扩展
    由于按月扩展比较麻烦，所以将年扩展放在前面说    ① 我们不考虑闰年，假设每一年都是 365 天。由于365是7的52倍多1天，所以每一年的第一天和最后一天星期是相同的。
    也就是说下一年的第一天与上一年的第一天星期滞后一天。这是个重要的结论，每过一年，公式⑴会有一天的误差，由于我们是从0年开始的，所以只须要简单的加上年就可以修正扩展年引起的误差，得到公式如下：
    w = (d-1 + y) % 7     ② 将闰年考虑进去
    每个闰年会多出一天，会使后面的年份产生一天的误差。如我们要计算2005年1月1日星期几，就要考虑前面的已经过的2004年中有多少个闰年，将这个误差加上就可以正确的计算了。
    根据闰年的定义(能被4整但不能被100整除或能被400整)，得到计算闰年的个数的算式：y/4 - y/100 + y/400。
    由于我们要计算的是当前要计算的年之前的闰年数，所以要将年减1，得到了如下的公式：
    w = [d-1+y + (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400] % 7 -----公式⑵    现在，我们得到了按年扩展的公式⑵，用这个公式可以计算任一年的1月份的星期四、扩展到其它月
    考虑这个问题颇费了一翻脑筋，后来还是按前面的方法大胆假才找到突破口。    ①现在我们假设每个月都是28天，且不考虑闰年
    有了这个假设，计算星期就太简单了，因为28正好是7的整数倍，每个月的星期都是一样的，公式⑵对任一个月都适用 ：)    ②但假设终究是假设，首先1月就不是28天，这将会造成2月份的计算误差。1月份比28天要多出3天，就是说公式⑵的基础上，2月份的星期应该推后3天。
    而对3月份来说，推后也是3天(2月正好28天，对3月的计算没有影响)。
    依此类推，每个月的计算要将前面几个月的累计误差加上。
    要注意的是误差只影响后面月的计算，因为12月已是最后一个月，所以不用考虑12月的误差天数，同理，1月份的误差天数是0，因为前面没有月份影响它。    由此，想到建立一个误差表来修正每个月的计算。
==================================================
月  误差 累计  模7
1   3    0     0
2   0    3     3
3   3    3     3
4   2    6     6
5   3    8     1
6   2    11    4
7   3    13    6
8   3    16    2
9   2    19    5
10  3    21    0
11  2    24    3
12  -    26    5
    (闰年时2月会有一天的误差，但我们现在不考虑)
==================================================    我们将最后的误差表用一个数组存放
    在公式⑵的基础上可以得到扩展到其它月的公式    e[] = {0,3,3,6,1,4,6,2,5,0,3,5}
    w = [d-1+y + e[m-1] + (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400] % 7 --公式⑶    ③上面的误差表我们没有考虑闰年，如果是闰年，2月会一天的误差，会对后面的3-12月的计算产生影响，对此，我们暂时在编程时来修正这种情况，增加的限定条件是如果当年是闰年，且计算的月在2月以后，需要加上一天的误差。大概代码是这样的：
    
    w = (d-1 + y + e[m-1] + (y-1)/4 - (y-1)/100 + (y-1)/400);
    if(m>2 && (y%4==0 && y%100!=0 || y%400==0) && y!=0)
        ++w;
    w %= 7;
    
    现在，已经可以正确的计算任一天的星期了。
    注意：0年不是闰年，虽然现在大都不用这个条件，但我们因从公元0年开始计算，所以这个条件是不能少的。    ④ 改进
    公式⑶中，计算闰年数的子项 (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400 没有包含当年，如果将当年包含进去，则实现了如果当年是闰年，w 自动加1。
    由此带来的影响是如果当年是闰年，1,2月份的计算会多一天误差，我们同样在编程时修正。则代码如下
    
    w = (d-1 + y + e[m-1] + y/4 - y/100 + y/400); ---- 公式⑷
    if(m<3 && (y%4==0 && y%100!=0 || y%400==0) && y!=0)
        --w;
    w %= 7;
    
    与前一段代码相比，我们简化了 w 的计算部分。
    实际上还可以进一步将常数 -1 合并到误差表中，但我们暂时先不这样做。
    
    至此，我们得到了一个阶段性的算法，可以计算任一天的星期了。public class Week {
    public static void main(String[] args){
        int y = 2005;
        int m = 4;
        int d = 25;
        
        int e[] = new int[]{0,3,3,6,1,4,6,2,5,0,3,5};
        int w = (d-1+e[m-1]+y+(y>>2)-y/100+y/400);
        if(m<3 && ((y&3)==0 && y%100!=0 || y%400==0) && y!=0){
            --w;
        }
        w %= 7;
        
        System.out.println(w);
    }
}

Answer 1

五、简化
    现在我们推导出了自己的计算星期的算法了，但还不能称之为公式。
    所谓公式，应该给定年月日后可以手工算出星期几的，但我们现在的算法需要记住一个误差表才能进行计算，所以只能称为一种算法，还不是公式。
    下面，我们试图消掉这个误差表……    =============================
    消除闰年判断的条件表达式
    =============================    由于闰年在2月份产生的误差，影响的是后面的月份计算。如果2月是排在一年的最后的话，它就不能对其它月份的计算产生影响了。可能已经有人联想到了文章开头的公式中为什么1,2月转换为上年的13,14月计算了吧 ：)    就是这个思想了，我们也将1,2月当作上一年的13,14月来看待。
    由此会产生两个问题需要解决：
    1>一年的第一天是3月1日了，我们要对 w 的计算公式重新推导
    2>误差表也发生了变化，需要得新计算    ①推导 w 计算式
      1> 用前面的算法算出 0年3月1日是星期3
         前7天, d = 1---7  ===>  w = 3----2
         得到 w = (d+2) % 7
         此式同样适用于整个三月份
      2> 扩展到每一年的三月份
         [d + 2 + y + (y-1)/4 - (y-1)/100 + (y-1)/400] % 7    ②误差表
==================================================
月  误差 累计  模7
3   3    0     0
4   2    3     3
5   3    5     5
6   2    8     1
7   3    10    3
8   3    13    6
9   2    16    2
10  3    18    4
11  2    21    0
12  3    23    2
13  3    26    5
14  -    29    1
==================================================    ③得到扩展到其它月的公式
    e[] = {0,3,5,1,3,6,2,4,0,2,5,1}
    w = [d+2 + e[m-3] +y+(y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400] % 7
    (3 <= m <= 14)    我们还是将 y-1 的式子进行简化
    w = [d+2 + e[m-3] +y+y/4-y/100+y/400] % 7
    (3 <= m <= 14)    这个式子如果当年是闰年，会告成多1的误差
    但我们将1,2月变换到上一年的13,14月，年份要减1，所以这个误差会自动消除，所以得到下面的算法：    int e[] = new int[]{0,3,5,1,3,6,2,4,0,2,5,1};
    if(m < 3) {
        m += 12;
        --y;
    }
    int w = (d+2 + e[m-3] +y+(y/4)-y/100+y/400) % 7; -----公式⑸    我们可以看到公式⑸与公式⑷几乎是一样的，仅仅是误差天和一个常数的差别
    常数的区别是由起始日期的星期不同引起的，0年1月1日星期日，0年3日1日星期三，有三天的差别，所以常数也从 -1 变成了 2。    现在，我们成功的消除了繁琐的闰年条件判断。
    =============================
    消除误差表
    =============================
    假如存在一种m到e的函数映射关系，使得
        e[m-3] = f(m)
    则我们就可以用 f(m) 取代公式⑸中的子项 e[m-3]，也就消除了误差表。    由于误差表只有12个项，且每一项都可以加减 7n 进行调整，这个函数关系是可以拼凑出来的。但是这个过程可能是极其枯燥无味的，我现在不想自己去推导它，我要利用前人的成果。所谓前人栽树，后人乘凉嘛 ：)    文章开头开出的公式中的 2*m+3*(m+1)/5 这个子项引起了我的兴趣    经过多次试试验，我运行下面的代码    for(m=1; m<=14; ++m)
        System.out.print((-1+2*m+3*(m+1)/5)%7 + " ");
    System.out.println();    天哪，输出结果与我的误差表不谋而合，成功了，哈哈    2 4 0 3 5 1 3 6 2 4 0 2 5 1
    Press any key to continue...    上面就是输出结果，看它后面的12项，与我的误差表完全吻合!!!    现在就简单的，将 f(m) = -1 + 2*m + 3*(m+1)/5 代入公式⑸，得到    w = (d+1+2*m+3*(m+1)/5+y+(y/4)-y/100+y/400) % 7 ----公式6
    约束条件: m=1,m=2 时 m=m+12,y=y-1;    现在，我们得到了通用的计算星期的公式，并且“完全”是按自己的思想推导出来的(那个函数映射关系不算)，只要理解了这个推导的步骤，即使有一天忘记了这个公式，也可以重新推导出来!    可能有人会注意到公式⑹与文章开头的公式相差一个常数 1，这是因为原公式使用数字0--6表示星期一到星期日，而我用0--6表示星期日到星期六。实际上是一样，你可以改成任意你喜欢的表示方法，只需改变这个常数就可以了。
六、验证公式的正确性。    一个月中的日期是连续的，只要有一天对的，模7的关系就不会错，所以一个月中只须验证一天就可以了，一天需要验12天。由于扩展到年和月只跟是否闰年有关系，就是说至少要验证一个平年和一个闰年，也就是最少得验证24次。
    我选择了 2005 年和 2008 年，验证每个月的1号。
测试代码如下：class test {
    public int GetWeek(int y, int m, int d) {
        if(m<3) {
            m += 12;
            --y;
        }
        int w = (d+1+2*m+3*(m+1)/5+y+(y>>2)-y/100+y/400) % 7;
        return w;
    }
}public class Week {
    public static void main(String[] args){
        int y = 2005;
        int m = 1;
        int d = 1;
        
        test t = new test();
        String week[] = new String[]{
            "星期日","星期一","星期二","星期三","星期四","星期五","星期六"
        };
        
        for(y=2005; y<=2008; y+=3) {
            for(m=1; m<=12; ++m) {
                String str = y + "-" + m + "-" + d + "\t" + week[t.GetWeek(y,m,d)];
                System.out.println(str);
            }
        }
    }
}
查万年历，检查程序的输出，完全正确。七、后话    我们这个公式的推导是以0年3月1日为基础的，对该日以后的日期都是可以计算的。但是否可以扩展到公元前(1,2已属于公元前1年的13,14月了)呢？    虽然我对0年1月和2月、以及公元前1年(令y=-1)的12月作了验证是正确的，但我在推导这个公式时并未想到将其扩展到公元前，所以上面的推导过程没有足够理论依据可以证明其适用于公元前。(负数的取模在不同的编译器如C++中好象处理并不完全正确)。    另外一有点是对于0年是否存在的争议，一种折中的说法是0年存在，但什么也没有发生，其持续时间为0。还有在罗马的格利戈里历法中有10天是不存的(1582年10月5日至14持续时间为0)，英国的历法中有11天(1752年9月3日至13日)是不存在的。感兴趣的朋友可以看看这里：
    http://www.whtv.com.cn/zhuanti/celebration/when/wz16.htm    但是我们做的是数字计算，不管那一天是否存在，持续的时间是24小时还是23小时甚至是0小时，只要那个号码存在，就有一个星期与之对应。所以这个公式仍然是适用的。
    如果要计算的是时间段，就必须考虑这个问题了。

Answer 2

另外一些想法：    对于式子
    w = [d-1+y + (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400] % 7 -----公式⑵
    可以计算任一年的1月份的星期
  
    如果我们令 d=1，可得到
    w = [y + (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400] % 7 ---- 公式⑺
    这就是计算任一年的元旦星期几的公式了，这是个真正的公式，中间没有任何转换的疑点。    在这个基础上我们可以从另一种思路去计算其它日期是星期几：求出要计算的日期是该年的中的第几天，减去1，加上元旦的星期，再模7即可    对某日是一年中的第几天的求法可以用 日 + 前面几个月的总天数
    由于可以去掉一个月中能被7整除的天数，所以对2月来说，加上1月份的31天与加3天是一样的，所以最后算出每个月之前的总天数与我们的前面的误差表是一样。    如2月d号星期几可以这样：
           [(d + 3) - 1 + w] % 7 = [(d-1) + 3 + w] % 7
    这个式子已经跟 公式⑷ 一样了(子项 3 等同于公式⑷中的 e[m-1])    至此，我们用另一种思路得到了相同的结果