为什么基本数据类型的范围正数绝对值比负数绝对值小1

Question

比如short型有符号16位整数(一位符号位) 
二进制表示: 十进制为： 
max=01111111 11111111 32,767 
mix=11111111 11111111 -32,768 
按上面推算范围是-32,767~32,767. 但为什么是-32,768~32,767呢 

Answer 1

引用/*
在计算机内，定点数有3种表示法：原码、反码和补码 
所谓原码就是前面所介绍的二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。  
   反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。 
补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。 
1、原码、反码和补码的表示方法 
（1）    原码：在数值前直接加一符号位的表示法。 
例如：      符号位  数值位 
[+7]原=   0    0000111  B 
[-7]原=   1    0000111  B 
     注意：a. 数0的原码有两种形式： 
             [+0]原=00000000B    [-0]原=10000000B 
           b. 8位二进制原码的表示范围：-127～+127 
（2）反码： 
     正数：正数的反码与原码相同。 
     负数：负数的反码，符号位为“1”，数值部分按位取反。 
例如：     符号位 数值位 
     [+7]反=  0   0000111  B 
     [-7]反=  1   1111000  B 
注意：a. 数0的反码也有两种形式，即 
         [+0]反=00000000B 
         [- 0]反=11111111B 
      b. 8位二进制反码的表示范围：-127～+127 
（3）补码的表示方法 
1）模的概念：把一个计量单位称之为模或模数。例如，时钟是以12进制进行计数循环的，即以12为模。在时钟上，时针加上（正拨）12的整数位或减去（反拨）12的整数位，时针的位置不变。14点钟在舍去模12后，成为（下午）2点钟（14=14-12=2）。从0点出发逆时针拨10格即减去10小时，也可看成从0点出发顺时针拨2格（加上2小时），即2点（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可映射为+2。由此可见，对于一个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是一样的；因此，在以12为模的系统中，凡是减10的运算都可以用加2来代替，这就把减法问题转化成加法问题了（注：计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法）。10和2对模12而言互为补数。 
同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为8），因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，8位二进制数，它的模数为28=256。在计算中，两个互补的数称为“补码”。 
  
2）补码的表示： 
    正数：正数的补码和原码相同。 
    负数：负数的补码则是符号位为“1”，数值部分按位取反后再在末位（最低位）加1。也就是“反码+1”。 
例如：       符号位 数值位 
      [+7]补=   0   0000111  B 
      [-7]补=   1   1111001  B 
补码在微型机中是一种重要的编码形式，请注意： 
a.             采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算，运算过程得到简化。正数的补码即是它所表示的数的真值，而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。采用补码进行运算，所得结果仍为补码。 
b.            与原码、反码不同，数值0的补码只有一个，即       [0]补=00000000B。 
c.             若字长为8位，则补码所表示的范围为-128～+127；进行补码运算时，应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。 
2．原码、反码和补码之间的转换 
由于正数的原码、补码、反码表示方法均相同，不需转换。 
在此，仅以负数情况分析。 
（1）    已知原码，求补码。 
例：已知某数X的原码为10110100B，试求X的补码和反码。 
解：由[X]原=10110100B知，X为负数。求其反码时，符号位不变，数值部分按位求反；求其补码时，再在其反码的末位加1。 
1  0  1  1  0  1  0  0   原码 
  
1  1  0  0  1  0  1  1   反码，符号位不变，数值位取反 
                     1   +1 
1  1  0  0  1  1  0  0   补码 
故：[X]补=11001100B，[X]反=11001011B。 
（2）    已知补码，求原码。 
分析：按照求负数补码的逆过程，数值部分应是最低位减1，然后取反。但是对二进制数来说，先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的，故仍可采用取反加1 有方法。 
例：已知某数X的补码11101110B，试求其原码。 
解：由[X]补=11101110B知，X为负数。求其原码表示时，符号位不变，数值部分按位求反，再在末位加1。 
1  1  1  0  1  1  1  0   补码 
  
1  0  0  1  0  0  0  1   符号位不变，数值位取反 
                     1   +1 
1  0  0  1  0  0  1  0   原码 
1．3．2  有符号数运算时的溢出问题 
请大家来做两个题目： 
1）（+72）+（+98）=？ 
0 1 0 0 1 0 0 0 B    +72 
     +  0 1 1 0 0 0 1 0 B    +98 
        1 0 1 0 1 0 1 0 B    -42 
2）（-83）+（-80）=？ 
1 0 1 0 1 1 0 1 B    -83 
     +  1 0 1 1 0 0 0 0 B    -80 
        0 1 0 1 1 1 0 1 B    +93 
   思考：这两个题目，按照正常的法则来运算，但结果显然不正确，这是怎么回事呢？ 
   答案：这是因为发生了溢出。 
如果计算机的字长为n位，n位二进制数的最高位为符号位，其余n-1位为数值位，采用补码表示法时，可表示的数X的范围是   -2n-1≤X≤2n-1-1 
当n=8时，可表示的有符号数的范围为-128～+127。两个有符号数进行加法运算时，如果运算结果超出可表示的有符号数的范围时，就会发生溢出，使计算结果出错。很显然，溢出只能出现在两个同符号数相加或两个异符号数相减的情况下。 
对于加法运算，如果次高位（数值部分最高位）形成进位加入最高位，而最高位（符号位）相加（包括次高位的进位）却没有进位输出时，或者反过来，次高位没有进位加入最高位，但最高位却有进位输出时，都将发生溢出。因为这两种情况是：两个正数相加，结果超出了范围，形式上变成了负数；两负数相加，结果超出了范围，形式上变成了正数。 
而对于减法运算，当次高位不需从最高位借位，但最高位却需借位（正数减负数，差超出范围），或者反过来，次高位需从最高位借位，但最高位不需借位（负数减正数，差超出范围），也会出现溢出。 
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原来基础数据类型都是用补码表示，原码和反码表示范围正负绝对值都一样，补码表示负数要大一。